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题文
f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=axg(x)=.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率;
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)(2)
(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有:
xxx,4x,4x,4x
共6种且每种情况被取到的可能性相同.
又当a>0,b>0时,ax上递减,在上递增;
x和4x在(0,+∞)上递增,
∴对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有xxx,4x,故事件A包含的基本事件有4种,
P(A)=,故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,
∴点(ab)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.
要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,
f(1)+g(1)=ab≤8且f(2)+g(2)=2a≤8,

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.
P(B)=
故所求概率是.
据魔方格专家权威分析,试题“设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],..”主要考查你对  指数函数模型的应用对数函数模型的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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指数函数模型的应用对数函数模型的应用
考点名称:指数函数模型的应用
  • 指数函数模型的定义

    恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f(x)=a·bx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1)的形式,进而结合指数函数的性质解决问题。
  • 指数型复合函数的性质的应用:

    (1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:
    ;②.无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.
    (2)对于形如一类的指数型复合函数,有以下结论:
    ①函数的定义域与f(x)的定义域相同;
    ②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数的值域;
    ③当a>l时,函数与函数f(x)的单调性相同;当O<a<l时,函数与函数f(x)的单调性相反.

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