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题文
已知函数 
(1)若曲线在公共点处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时,若曲线在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若,且曲线总存在公切线,求正实数的最小值
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1);(2)详见解析;(3)正实数的最小值为1

试题分析:(1)求实数的值,因为曲线在公共点处有相同的切线,由导数的几何意义可得,,解出即可;(2)当时,若曲线在公共点处有相同的切线,求证:点唯一,可设,由题设得,转化为关于的方程只有一解,进而构造函数,转化为函数只有一个零点,可利用导数即可证明;(3)设曲线在点处的切线方程为,则只需使该切线相切即可,也即方程组只有一解即可,所以消,问题转化关于的方程总有解,分情况借助导数进行讨论即可求得值最小值
试题解析:(1) ∵曲线在公共点处有相同的切线∴ ,  解得,            3分
(2)设,则由题设有       ①又在点有共同的切线
代入①得     5分
,则
上单调递增,所以 =0最多只有个实根,
从而,结合(1)可知,满足题设的点只能是            7分
(3)当时,
曲线在点处的切线方程为,即 
,得  
∵ 曲线总存在公切线,∴ 关于的方程
 总有解                    9分
,则,而,显然不成立,所以     10分
从而,方程可化为  
,则 
∴ 当时,;当时,,即 上单调递减,在上单调递增 ∴的最小值为
所以,要使方程有解,只须,即               14分
据魔方格专家权威分析,试题“已知函数,(1)若曲线与在公共点处有相同的切线,求实数、的值;(..”主要考查你对  指数函数模型的应用对数函数模型的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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指数函数模型的应用对数函数模型的应用
考点名称:指数函数模型的应用
  • 指数函数模型的定义

    恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f(x)=a·bx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1)的形式,进而结合指数函数的性质解决问题。
  • 指数型复合函数的性质的应用:

    (1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:
    ;②.无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.
    (2)对于形如一类的指数型复合函数,有以下结论:
    ①函数的定义域与f(x)的定义域相同;
    ②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数的值域;
    ③当a>l时,函数与函数f(x)的单调性相同;当O<a<l时,函数与函数f(x)的单调性相反.

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