我们总希望学生通过学习数学，能够启迪心智，使自己变得更加聪明，更具有智慧，更有充分的发展潜力和广阔的发展前途。小编整理了相关内容，希望能帮助到您。

笨人学习大学数学的方法

【资料图】

数学是什么?

大部分中国人心目中的数学，其实按严格的分类，都属于应用数学。一句话：应用数学是用数字和公式描述客观世界的科学，研究的是客观世界的数量性质和运动规律;而数学(为了区分，多称作“纯数学”或“基础数学”)是含有公式的哲学，研究的是抽象概念的关系、运动规律和空间的性质，具有很强的主观性和艺术性。

古人从猎物分配中总结了算术，从土地面积丈量中总结出基础的平面几何，可以说，先有应用数学后有纯数学。二者在300年前可以说不分彼此，牛顿、高斯、欧拉等大数学家同样也在应用数学、物理和哲学等领域取得累累硕果。后来，罗巴切夫斯基和黎曼等建立非欧几何学，使得人类第一次脱离生活中直观的三维空间，思考抽象空间的性质，这个事件标志着纯数学开始自立门户。而1900年希尔伯特在国际数学家大会上的讲话，可以说是纯数学从应用数学中彻底独 立出来。二战后经济复苏，数学家有了资金支持可以无忧生计，全心全力做研究，数学得到长足发展。

为什么要学基础数学?

常言道，练武不练功，到老一场空。倚天剑屠龙刀是绝世神兵，但也要拿得动舞得起来才有威力。看过电影《导火线》的筒子，肯定对里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果没有甄子丹的身体素质和协调能力，硬用背摔这样的技能非伤到自己不可。应用数学的模型的发明研究者多数有很深的基础数学功底，故学习者若无一定的基础数学的训练，理解他们的成果就要花费很多的时间和精力，而且难以理解透彻和应用到位，更不要提举一反三了。而目前工业日新月异，金融界瞬息万变，相关的模型和公式也是层出不穷。学习者如果不能触类旁通，一个一个学是必然学不完的。

一切高级的数学，归根结底都是微积分和线性代数的各种变化，这漱佛数学系主任丘成桐和普林斯顿数学系前系主任释天(Elias Stein)经常告诫学生的话。而基础数学的初级学科，如数学分析和高等代数，就是对最基本的高等数学和线性代数进行理论上的完善，让学习者不仅仅能学会现有的套路，更能理解公式定理背后的道理，从而能更好地应对各种随机的情况，甚至于自创招式。故将来计划学习理工科和金融的学生，除了练好微积分和线性代数的计算，至少要学习一下这两个领域的证明课程，也就是一年的基础数学。这只是最低要求，物理学特别是理论方向的必修群论(属于抽象代数)，量子力学要学希尔伯特空间(属于实变函数)。

另外，有些较为高端的金融数学项目中的随机模型的课程，已经要求初步掌握测度论。具体到理工科和金融的名家案例：生物学家施一公高中数学竞赛河南省第一名，大学物理和生物双学位中修了大量数学;哈佛大学双聘教授庄小威本科在中科大读核物理，群论和偏微分方程是必修，出国读博时数学水准不亚于数学系毕业生;文艺复兴基金创始人、30年内杀入福布斯前50名的富豪赛猛宅(James Simons)本身就是基础数学出身。

近一点的例子：北大生命科学学院05级本科第一名、现斯坦福博士生高小井;06级本科第一名、现哈佛医学院博士生李鑫，高中都有数学奥赛经历，在大学也一直加强数学学习。MHC生物和化学双学位取得者，目前杜克大学医学院MD学生王晓雯，大学期间做完了著名的《吉米多维奇数学分析习题集》。本科阶段学好数学，是理工社科从业者一生的财富。

如何学好数学?

我的数学到底有多烂?做过《五年高考三年模拟》的朋友，都知道高考数学北京卷的特点是基础题特别基础，最后一道大题用超纲知识+新信息+方法综合拉开分数档次。我当时模考，就总是最后一道题得一两分或者全部放弃。我从小强于记忆而不善也不喜欢逻辑推理，故高中数学基本上靠题海练习、熟悉题型、照搬定式来得分。

来到石溪，我学数学有过非常痛苦的经历。其实当时规划也有失误，很多地方失于急躁冒进，不然，完全可以不那么累而且学得更好。欧美有很多数学天才写过数学的学习心得，但鉴于他们起点太高，学习节奏可以很快，故方法未必适合大家。我的方法可以说是零起点的，目的是帮助像我一样没搞过竞赛的理科生以及文科生搞定美国大学的数学系要求，以在未来的职业竞争中，数学方面不至于拖累自己甚至领先身边人。那么如何学好数学?看我细细道来：

第一，要具备不卑不亢的心态

数学并非难，只是它的表述体系和思维要求，对于多数中国学生比较陌生。要把它当作全新的东西来认识，就跟学习一门新语言一样。以前自己学的东西，包括高中知识和AP数学等，记住概念即可，思维推导不要沿用。然后严格按照老师讲的思维方式，不厌其烦的推导和证明，慢慢一回生二回熟。几年前华人数学天才陶哲轩给UCLA本科生讲Honor Analysis(荣誉数学分析)的时候，上来进度非常慢，前一个月都在证明皮亚诺公理、集合论和基本的映射理论，但后来可以越学越快，而且学生越学越Hi。拳不离手，曲不离口，学语言要勤动口和动笔，学数学也要没事常动脑。

就算文科生一样可以学好数学：20世纪俄罗斯数学学派掌门人、莫斯科国立大学数学系主任柯莫高(Kolmogorov,又译柯尔莫格洛夫)大一是读历史的。美国人魏爱华(Edward Witten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语言学，博士申请UWM的经济学博士，读了半年退学，自修数学和物理,23岁考进Princeton，硕转博再同时搞数学和物理。16年后，他站在菲尔兹奖的领奖台上。

我说过了基础数学其实是哲学，而哲学算文科还是理科都有道理。另一方面，国内就算奥赛摘金夺银，到美国也要扎扎实实的学。因为奥赛国际金牌在欧美的精英面前多数是渣：俄罗斯盖芳德(Gelfand)15岁读完代数几何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代数几何原理)，这套书让北大博士去读都够呛。我们石溪的米糯教授本科大一在《数学年鉴》上发论文，这是数学界最高学术期刊，每年中国大陆都很难有一篇文章发表。

这里特别要说一下美国数学教学的二段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就是带证明的数学分析和高等代数，美国的教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容比较简单，作业和考试很多中国学生可以依靠高中基础秒杀之。但不少人练习不够，很多知识没搞透，方法技巧也不够熟练。然后到了第二段，数分和高代一开，很多人欲哭无泪。这就要求第一阶段，哪怕觉得这些题再傻，一本书一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要细读书，多问老师。在美国基础数学能学好的中国人，要么是自己天才，要么就把教授办公室的椅子坐穿。

第二，保证数学的学习时间

要是天才并且喜欢数学，那你自然会给数学大量时间。如果是为了将来胜任其他领域而学数学，要记住大一大二对于打好数学基础是最宝贵的。所以，建议每天先完成其他学科的作业，然后把大块时间分配给数学的看书做题细琢磨。

我目前主要是修各种数学课和一门应用数学的概率论，每天时间大体是这样分割的：睡觉6小时，吃饭包括饭后的休息2小时，健身和洗澡2小时，交通1小时，个人爱好1小时(抄抄四书五经，读读文艺的歌词，主要是墨明棋妙的还有林夕的)，机动时间1小时，剩下11小时是听课和课下学习。周末多用两小时坐校车去买个菜，路上一直思考，也相当于最终学习10小时。

谁说数学天才每天悠哉游哉?那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的赛赫(Jean-Pierre Serre)够天才了吧?他自述道：习惯带着数学题入梦，醒来往往有思路。故我用最爱的《红楼梦》第一回作为他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与“造化阴阳”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英国皇家学会会长，敕封爵士)并列20世纪世界第一的数学家)。数学多好算好?别说拿A，满分都是不够的。一本书读完，知识和方法不超纲的题目要难不住你(by“现代微分几何之父”陈省身)。一本书读完，同一领域下一阶段的书要能自通30%(by菲尔兹奖得主Curtis McMullen的导师Dennis Sullivan，石溪数学四大导师之苏立文)。校内传的什么每天学习八小时那是给别的学科的。每天八小时想学好数学?做梦!

第三，学会科学的思维方法

(1)数学思维的三个方面

任何数学的定义、定理说透了也就三部分：

第一是它本身的文字和(或)符号、 公式内容;

第二是它在数学知识体系中的位置，与其他数学内容的逻辑关系，包括由什么可以推出来该定义或定理，它又可以(与其它定理一起)推出些什么;

第三是它所涉及的范畴有什么具体实例(比如循环群就有旋转图形、整数加群和同余模加群等例子)，这些例子又有何作用，能否在数学中或数学外(典型的如几何和物理)取得应用。

这就分别是数学对象的本体论、方法论和目的论。柯莫高说：“的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：

1、算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。

2、几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。

3、一步一步进行逻辑推理的能力。

这些对应的就是掌握数学概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做题，几何直观除了做题还要平时多留意，多联系生活实际;逻辑推理这个往往是中国学生的弱项，毕竟我们母语的方块字二维画面性远远超过西方拼音文字，而一维线形(逻辑链的内在属性)却不足。汉字个个如画，横竖左右写均可，而西方拼音文字就得一条路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练习逻辑推理的方法关键在定理的证明，下面会详述。

(2)如何课前预习

一开始微积分可以多做一点，而数分和高代等带证明的预习下一节课内容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章节内容：先略读本章节，看清有几个定义(Definition)，几个定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例子(Example)和注释(Remark)。如果把数学比作一门语言，定义就是名词，定理和引理是句子，而例子和注释相当于古文经典中的注和疏。定义一定要自己品味，比较长的拆开句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一个菲尔兹奖小平邦彦大学时抄过整本Van de Warden的代数，咱们抄书不丢人。 定义要么是全新的，这个不急着理解，往后看看;要么是基于以前内容的，这个不妨回顾一下相关内容再继续看。

遇到定理就要注意，课本的证明不要先看，自己理解定理内容后，把定理当作习题徒手证一遍，写下来，再与课本原文比较，查找二者的不同：自己的证明是不是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了(初学者常犯错误)，是不是有多余的语句，是不是有地方用错了。凡是不同处，都要重点思考，这样进步就快了。如果实在想不起来，就看看书本怎么证的。对于自己的不足，要整理到上述公式、逻辑或几何三个大类中，并提醒自己注意(如国内分析教材从罗尔定理证明拉格朗日中值定理，很多人不会把一般的函数构造成符合罗尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能力和逻辑能力)。

引理也是这么证。别小看引理，朗兰兹猜想中的基本引理之一，吴宝珠证出来就是一个菲尔兹奖。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少两个例子，一个是典型的，一个是退化的极限情况(by Halmos，《我要做数学家》和《希尔伯特空间习题集》的作者，芝加哥大学鼎盛时期和陈省身等共事的数学家)。例如高中解析几何的双曲线，分母的a^2, b^2当然大于零，可以找出来一个例子。如果其中一项等于零，就退化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要小看退化，这正是跟以前知识的联系。自己想了例子，其实潜意识中，注释的内容已经过了一遍。然后不必太早做习题，再回顾一下整个思维过程有没有需要看课本提示的地方，有没有自己能看懂但是跟以往惯性思维相悖的地方，有没有突然顿悟的地方。这都要记下来，上课等老师讲到这里时要格外留心。

(3)听课

美国的数学教授基本还是写黑板，而且不会太快。上课公式一写几黑板的那是应用数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在石溪一定不是数学或物理教授。 所以，有时间记笔记。但不必全记住，把预习的成果调动起来，老师讲的时候跟自己脑中的备份随时印证并修正。就一个建议，教授不停嘴，学生不动笔。真正听好了，上课一字不写又何妨?课下完全可以轻松补全并注上自己的心得见解。

(4)课下

先整理笔记，一定有自己的见解，全抄老师的对于学应数是有用的，对于学数学则是浪费时间。数学界的师生关系往往很融洽，但思维上绝对是批判继承和启发继承，学我者昌，似我者亡。然后是定义再品味一下，定理和引理自己再证一遍，比较老师的证明、课本的证明和自己当初的证明，这次不仅要能说出哪个好，还要能说出为什么好。

然后是做题了。除了开始的微积分要刷书，带证明的课，课本做好作业题就够了，因为老师选的可能不是经典教材(经典的往往比较难，很多美国学生受不了)。但每个题要做精，做完一题回顾自己的思路历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和几何直观进行归类。实在做不出来，画个记号，改天再看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中自己想不到的，要特别标注，常常回顾。然后就是选一本这一门课比较经典的书，按照上文预习和做题的路子走一遍。经典教材的知识点和思路要自己总结，每过一两章节，找一张大的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的题目最好都做，做不出来，Office Hour坐穿椅子去。

(5)心理状态

很多人开始觉得数学难，然后生怕基础打得不牢，一个定理看半天，看似很认真很投入，其实就算理解了思维也很僵化，而且容易跟不上进度。这就像打羽毛球和练书法，你心里紧张，手抓得太紧，反而发不出力来，写的字也不好看。掌心要虚着，身体要保持随时可以发力的弹簧状，击球时蹬地转体推肩压臂一套动作一气呵成，手掌瞬间抓紧最后一次加速，这才能打出林丹那样硬砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保持轻微的紧张和激动，有点小期待，随时能调动已有知识，并可以多角度观察新知识，思维能发散也能迅速收回并集中攻关。

这种感觉一旦找到，妙不可言。不过重难点也要适当文火慢炖：如果教材中有令自己感到太难的思考，头一天理解了要标记，第二天要试着不看书回忆。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，现坐镇石溪的微分几何大家陈秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中写道，当年导师卡拉比告诉过他：如果你不能在脑海中重复整个论证过程，那么它就没有成为你的一部分。

第四，打造良好的身体素质

数学是劳心的工作，如果身体素质不够，气血不足，将直接影响思维质量。数学牛人几乎没有不爱运动的：柯莫高70岁仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天!陶哲轩骑山地车，高探蝶养牛(囧)，陈秀雄卖萌(我坚持认为他是自然萌)。要想学好数学，摸爬滚打至少要喜欢一项。这里给男生推荐练习腹肌：首先这个可以天天练，作为读书的调剂(上肢和下肢如果负重，要隔天练才不会受伤);其次腹肌训练能提高躯干供血，这样在各种环境(沙发，椅子，树上，火车或飞机上)看书都不易出现头晕或胸闷;最后当然是能吸引妹子。每天推荐训练量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分钟腹肌(8 Min Abs)教程一套(网上有)，配合腿部负重(沙袋就好);负重仰卧起坐50次每组x5组(开始可以20次每组x10组)，负重悬垂举腿10-30每组x5组，负重俯卧挺身10-20次每组x5组。这对综合防身也有用：常言到手是两扇门，全靠腿打人。同样是低位置的快速踢腿，小腿发力叫下段踢，腰胯发力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人闻风丧胆的“武神强踢”。

最后祝大家都能以高效率学好数学，享受学习数学的过程。各路高人欢迎拍砖。

几个本科课程的经典教材：

基础微积分：Stewart，Thomas，吉米多维奇选一个就可以。吉米可以晚一些，学数学分析时做。

基础线性代数：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教学视频，作者亲自讲，非常非常适合入门 。

高等代数(带证明的线代)：Friedberg的Linear Algebra。不要用那个Linear Algebra Done Right，太粗糙。

抽象代数：小丫挺(Michael Artin)的Algebra，国内张禾瑞的《近世代数基础》很好，毕竟是小丫挺的父亲丫挺先生(Emil Artin)的博士生，土豆网上有授课视频。学有余力的看Dummit & Foote的Algebra，再牛的挑战郎射日(Serge Lang)的Algebra。

数学分析：基础一般的，陶哲轩的Analysis I,II很好。基础很好的用苏联卓里奇(Vladimir Zorich)的Mathematical Analysis I,II，这是清华基础科学班大一数分教材。课外想自虐的用Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。

复分析：经典的多数用Rudin的Real and Complex Analysis，不过有点小难。

实分析：这个不必看本科生专门的实分析，研究生的可以直接上，毕竟本科分析扎实的话，测度论可以直接看。上一条中Rudin的就好，另外有个Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland写的不错。至于释天的三卷分析，相当难，慎用。

微分方程：常微分方程很多人推荐Arnold的，不过偏难。偏微分一定要问老师，毕竟涉及的范畴太广了。

拓扑学：Munkres的不解释。如果多元微积分很好，可以用Milnor的那本小册子(Topology from the Differentiable Viewpoint)看看微分拓扑。

如何打开大学数学学习之门

什么是大学新生所面临的的最大问题呢?

01

应试教育靠加班加点，靠死打硬拼，靠对同一类型的题目反复操练，要求达到“条件反射”般的敏捷，达到不动脑筋、一看到题目就能做、一做就必对的程度。这样的训练是很使人疲劳的，也必然很使人倒胃口。但是为了实现考上大学这一目标，再疲劳，再无趣，也要忍受;而且天天有老师和家长看着你，不忍受也得忍受。现在考进大学了，不少人会觉得壮志已酬，人生的目标似乎已经达到，又没有老师和家长盯得紧紧的，课业表面上也不太重，一些人还可能相当缺乏自制的能力，很容易在一开始处于一种松垮的状态，优哉游哉一下，甚至沉醉于上网、玩一些无聊的游戏等等。这一放松，时间很快就过去了。等到发觉大事不好，想要抢救过来就难了。为什么这么说呢?除了一般性的道理之外，更是由数学的特点决定的。数学这个学科逻辑性强，整个体系十分严谨，一环扣一环，前面没有很好掌握和理解，后面学习就会有本质上的困难。形象地说，学习数学和在食堂里打饭不同，是不能“插队”的!

这一点，学生在中学阶段是很难体会的，这不仅因为中学里学习的内容相对说来要简单得多，而且中学里的课程现在更多是按“知识点”来讲授的，很少注意知识之间的联系，没有着重强调知识之间客观形成的体系，不少内容是相当零乱、分散地出现的，后面讲的内容和前面讲的内容之间的关系显得不大密切，偶尔“插一下队”应该是没有问题的。但大学的数学课程有自己严密的逻辑体系，再想这样“插队”就不可能了。一开始放松，就很难抓得回来，就可能永远被动下去，甚至一蹶不振。一开始不抓紧，往往就可能输在起跑线上!为什么我们常常可以看到：一些中学时代的“龙”，到大学却变成“虫”了呢?!难道不应该从他们的学习态度、学习方法和学习习惯方面认真找一找原因吗?!难道不值得引起大家强烈的警惕和注意吗?!因此，一开始就要提醒大家，一定要有一种紧迫感，对在校的学习岁月要加倍的珍惜。一定要要求大家坚持认真、刻苦的学习，不能松懈。

有一分劳动，就有一分收获，这是永恒的真理，学数学更不能例外。将自己的身心献给数学的数学家，我们的不少老师，面对着丰富多彩、广阔无垠的数学世界，面对着百思不得其解的数学课题，面临着即将取得突破的关键时刻，是没有星期六、星期天的。他们享受这样的生活节奏，感受到生命的充实，深深地为之陶醉，不仅造就了他们的事业，也为大家树立了榜样。要学好数学，不出气力，玩小聪明，偷工减料，含糊敷衍，都是不行的。一些勤奋学习、刻苦钻研、奋力拼搏的学生应该成为大家的榜样，大家要认真地向他们学习，努力营造一个良好的学习氛围。

02

从中学到大学，学习要求和学习环境都有了重大的变化，但大家一开始可能没有感觉，而一旦感觉到了，往往为时已晚。因此，一定要要求新生将自觉地改变自己的学习方法和学习习惯作为开始阶段的第一(注意，不是第二、第三，而是第一!)要务，力争在转折点处掌握先机，抓住学习的主动权。

对怎样才算“数学学得好”这个根本性的问题，中学生中一个相当普遍的看法是：谁题目解得多、解得快，谁就是数学好。更有一种“刷题”的说法，不少的人以每天刷了多少题而自豪。据说一些网站更为在其上刷了多少题建立指标、给以奖励，等等。如果进了大学，仍然以此作为“数学学得好”的标准，那就大错特错了，也必然对数学学习的效果造成极大的负面影响。

其实，数学是一门重思考与理解的学科，在入门阶段，数学学习的好坏要看是否理解深入、运作熟练及表达明晰这三个方面，这儿所说的运作泛指运算及推理等环节，而三者中的关键是要深入的理解。只有深入的理解，对数学的概念、方法及结论，不仅知其然，而且知其所以然，才能掌握数学的精神实质和思想方法，才能实现运作熟练和表达明晰这样一些外在层面上的表现。对这一点，习惯于中学阶段应试训练的学生是很少能有深刻的理解的，他们往往被老师牵着、抱着甚至赶着走，很少在深入理解上下功夫，平时也没有认真钻研教材的习惯，把大量的功夫都用在照搬照抄、反复操作大量同一类型的习题上。而如果只满足于会解题，而不知道为什么这样做，即使题刷得再多、再快，充其量只能成为一个熟练的解题工匠，是谈不上和数学真正结缘的，更是不可能培养自己的创新精神和创新能力的。

再说，目前中学里平时做的题(特别是考试中做的题)，大多是选择题或填充题，简单地写上一个答案就可以了。答案尽管是对的，但如果要求从头到尾将证明或过程写清楚，往往会暴露出不少的问题，就会发现要使表达简明清晰实在是一件很困难的事。别人三言两语就能搞定的，自己却啰啰嗦嗦地写了一大堆，颠三倒四，不得要领，这难道算是学好了数学吗?这样的状态能适应大学的学习生活吗?能保证自己不会输在起跑线上吗?这样看来，学生进了大学，一开始就要求他们并帮助他们自觉地转变思想、转变观念、转变习惯，实在非常重要。

03

学生进入大学数学类专业，不免要关心自己的前途和出路。对此有一个明确的定位，是提高他们学习积极性的一个重要的环节。当学生正在开始以数学为专业的系统学习，正在跨进数学科学的殿堂、成为一支数学新军的时候，要使他们了解到：他们将要遨游于博大精深而又美轮美奂的数学王国，品尝并探索数学科学的精义和奥秘，欣赏它特有的美感，并努力为之添砖加瓦;同时，还要籍助于数学这一既神奇又实用的思路、工具和方法，努力揭示大自然和人类社会的种.种奥秘和规律，对我们所处的这个世界有更好的了解和认识，进而为国家、为民族、为人类造福。

正因为这样，一开始就要鼓励和希望学生树立一个远大的志向，拥有一个美丽的梦想，那就是将数学作为自己毕生的事业，立志将自己培养和造就为一个未来的数学家，为数学的发展与进步、为人才的教育与培养、为人类社会的发展与进步做出自己的建树和贡献，也为中国的数学增光添彩。拿破仑说过：“不想做将军的士兵，不是一个好的士兵!”套用一下他的话，我们应该也可以说：“不想做数学家的学生，不是数学类专业的一个好学生!”我们相信，这是不少学生发自内心的自觉追求，应该给以充分的鼓励和热情的支持。

还可能有相当一部分学生，他们虽然对数学有兴趣，也深知数学的重要性，但希望先打好一个数学基础，将来转入到其他各行各业发挥作用。不要认为他们这么想、这么做是离经叛道，将他们打入另册，而应该认识到这也是学习数学的一个良好的出路和动机。众多有着良好数学基础和修养的毕业生进入各行各业，不仅会从根本上改变这些行业的面貌，而且对数学发展本身也提供了良好的外部环境和带来极大的推动，同样是值得鼓励和支持的。

但是，这些学生尽管将来要进入各行各业，他们的人生不应该仅仅锁定在找一个高收入的工作这样功利且低俗的目标上，放弃了对数学的热爱与追求。相反，要使他们懂得，他们和其他人相比的优势不在别的地方，而在他们数学上的积淀;他们将来在新的环境中能不能脱颖而出，靠的也只能是他们在数学上的优势，而不是其他!他们将来的着力点，应该是在数学与其他学科交叉与融合的结合部上，这就是现在人们大力提倡的工业与应用数学。他们的奋斗目标同样应该是成为一个数学家，而且是一个真正意义上的工业与应用数学家。

总之，尽管刚刚进入大学的新生对自己的未来可以有各不相同的打算和安排，他们将来也一定会走向四面八方、各行各业，但条条道路通罗马，他们都是数学类专业的学生，他们都需要切实打好自己的数学基础。为此，在一开始就要加强专业思想的教育，使大家都能热爱数学，热爱数学类专业，出色地完成大学期间的学习任务。

04

怎样在数学学习上做到深入理解?刚刚进入大学数学类专业的学生往往是摸不着门道的，大家一定要高度重视这方面的问题，认真改进自己的学习方法，决不能放任自流。有些学生，学习积极性是很高的，劲头来了，胃口很大，总希望学得更多一些，学得更快一些。他们选修了很多课程，甚至外加了很多额外的负担，把时间排得满满的，但效果往往不好，甚至适得其反，越搞越被动。其实，这不是一个学习数学的正确方法!我在和一些大学生的谈话中，针对他们在学习上贪多求快、不求甚解的情况，曾经总结了一个学习数学的“四字诀”。哪四个字呢?少、慢、精、深。

前面已经说过，数学学习的关键是要深入的理解，达到精深的地步。而为了达到精深，不能多、快，只能少、慢。要学好微积分，一本真正好的教材就够了，用不着像文科那样博览群书、一口气看上好多本。平时的学习也要步步为营。一步一个脚印，打下一个据点就牢固占领一个据点。这样，虽然一开始不贪多，但日积月累就会根基扎实地积少成多，不断扩大自己的知识结构和范围，实现由少到多的转化。

而只有慢，不片面地追求速度，才能细嚼慢咽，反复思考，才能深入的理解、透彻的领会，真正掌握数学的真谛。我在上大学的时候，陈建功先生给我们上实变函数论的课。这门课很难，一堂课下来，真正弄清楚的不太多。我课后要认真地破译他那本相当浓缩的自编油印讲义，改正一些印刷上的错误，补充不少证明的细节和自己的点滴体会，一直到彻底弄懂为止。这样做，通常要花上二、三倍的时间，可以说是慢到极点。但破译了这一本“天书”，以后碰到再难的“天书”也不害怕了，这在当时就给我带来了深切的感受和极大的愉悦，而且影响和造就了我的一生。应该说，这是我在大学中收获最大的一门课程，因为它不仅锻炼和考验了我的自学能力和方法，而且极大地增加了我的信心和勇气。这不是“快”的功劳，而是“慢”的功劳。精工才能出细活，也才能逐步实现由慢到快的转化。这样得到的快，才是真快，才是无后顾之忧的快，才真正进入到一个新的境界。

少、慢的目的是要达到精、深，实现由少到多、由慢到快的转化。怎样达到精、深呢?华罗庚先生提倡的一个读书方法：由薄到厚，由厚到薄，是很有启发性的。首先要由薄到厚，不仅要搞清一些细节，而且要反复思考、分析有关内容的关键和重点，抓住论证的核心和要害，了解材料的来龙去脉，读出自己的体会，读出书本及教师没有直接说出来的深刻的，也包括提出自己的问题与困惑，等等。这样读书，书自然由薄到厚，认识也逐步走向深入了。这决不是全部，还要在此基础上进一步抓住问题的本质和核心，做到由厚到薄。

真理总是朴素的，本质的东西往往是简明扼要的，到了一定阶段，通过认识的升华，就会发现你所面对的这一大堆东西其实很简单，三言两语就可以点出它的本质，这就由厚转向了薄。这样的“薄”，经过了否定之否定的过程，已与原来的“薄”有了本质的不同，可以说，已经在一定程度上达到融会贯通的地步了。应该说，数学科学的发展本身就一直在经历这个“由薄到厚，由厚到薄”的过程，我们自己对数学的学习又怎能不遵守这一规律呢?!

当然，要“由薄到厚”，再“由厚到薄”，说说容易，对新入学的学生来说，却完全是一个新的课题，一开始是很不容易做到的，哪怕给他们很多的空余时间，他们可能也不见得会利用。这就需老师认真的启蒙、指导，将学生带进认真思考的大门，这也应该是大学数学入学教育的一个重要的内容。

我自己刚上大学的时候，教材都用有关苏联教材的中译本，高等代数的教材是苏联库洛什著、柯召翻译的。在中学里我们没有养成认真钻研教材的习惯，只要能很快地将题目做出来就行了。到了大学，由中学里学过的二阶及三阶行列式一下子跳到n阶行列式，从定义开始就要求认识上的高度升华，由具体且简单的代数运算，进入到抽象而深奥的数学思维，其中还出现了置换及关于哑指标求和这样一些似乎匪夷所思的概念及运算，中学里习以为常、依样画葫芦地解题这一套吃不开了。只有深入的理解，才能熟练的解题;而要深入理解，就离不开认真的阅读、消化及钻研教材的内容。

然而，苏联的这本教材以及当时很多其他的数学教材，和中学的教材大不一样。中学教材写得很清楚，定理是什么，证明是什么，证完了还要加上证毕二字，看起来一目了然。而那个教材是一口气写下来的，一眼看去，不知道哪儿是定理，也不知道证明从哪儿开始，到哪儿结束，很难看出一个头绪。教我们高等代数的杨武之先生很细心，看到了我们的困惑，在课上就开导我们：书上的证明是从“事实上”这样的句子开始的，“事实上”以前的一段话就是定理，而“事实上”之后的内容就是证明了。他的这个启示，的确起了画龙点睛的作用，使我们知道了数学语言的这种表达方式，一下子就开窍了。这说明从中学到大学，除了学习内容变了，学习方法也要变，其中，数学的语言及语言习惯都要跟着改变。

对大学数学类专业的新生，首先要帮助他们习惯于数学语言的变化，进入一个新的数学类语言环境。数学教材及文献中的这一类特殊语言实际上还有不少，要尽快帮助学生适应并习惯它们。例如说，书上写“显然”的地方，学生如果也想当然地认为“显然”，而不去想一想为什么“显然”，一下子含糊过去，那实质上并没有真正弄懂。又如，“容易证明”、“容易得到”这些字样，也是在数学教材及文献中经常出现的，说起来“容易”，但往往并非如此。以我自己的写作经验，碰到并不太难，但真正写下来却很有些啰嗦，而且会显得节外生枝、喧宾夺主的时候，往往就用上“容易证明”之类的句型，一笔带过。 这种“偷工减料”，其实是很必要的。但学生看到“容易证明”之类的话，如果不去认真思索，听之任之地放过去，实际上往往并没有真正弄懂，就不可能达到一眼看穿、“容易证明”的境界，反而给这种句型糊弄过去了。又如，“不妨碍一般性，可以假设”、“同理可得”、“用类似方法可得”等等之类在数学教材及文献中经常出现的语言，初学者也应该想清楚，认真思考一下，而不能草率而天真地盲目相信它们，这才能慢慢适应数学的语言，逐步掌握数学的思想方法和精神实质。教育学生认真对待这些“细节”，是我们启蒙老师应该尽到的责任。谈到数学的语言，最经典也最常用的莫如微积分中“”，其中文的正确表达应为“对于任意给定的，存在，使得…”。这是一个经过了千锤百炼的表述方式，数学类的学生应该能毫无障碍地表达或书写出来，决不应该似是而非、含糊敷衍。

然而，实际上有不少人，甚至到了硕士生、博士生阶段，都未能完整、准确地表述这样的句子，不免使人遗憾。这个表述中的“任意”和“给定”两个词，都是起关键作用的，一个都不能少。事实上，如果没有“任意”二字，就不能体现“误差”可以愈取愈小的这一个过程，极限的意义就无从着落，就不可能进入高等数学的范畴;但如果没有“给定”这两个字，任意的就显得飘忽不定，不可捉摸，从而无从用初等数学的手段或“拐杖”进行具体的估计，来达到所要求的目标。只有同时用上“任意”、“给定”这两个词，才能进入到高等数学的概念，同时又将一切估计及运算纳入初等数学熟知的范围，实现从初等数学到高等数学的转化。这一经典的数学表述，看来咬文嚼字、枯燥无味，但实际上是充满了辩证法的。我们教高等数学的启蒙老师，作为入学教育的一部分，在讲授这一标准的数学表达时，应该捅破这一层窗户纸， 使学生深入理解它的精神，并准确、熟练地加以应用。

对数学语言的熟悉和理解，还只是入门的初步。怎样深入地理解课程的内容?怎样深入了解数学定义及定理的?怎样从正反两方面分析定理中所加条件之作用?怎样认识有关数学结论的作用?怎样揭示不同结论与方法之间的深刻联系?怎样考虑是否有可能改进或改善已有的结论?怎样读出自己的体会及心得?则更应是深入思考的内容，也很需启蒙老师在入学教育的阶段，通过启发式的教学帮助学生逐步学习和适应。这是高质量数学教学的应有之义，更是对新生的入学教育不可或缺的内容。抓好了这一点，学生就可顺利地跨入高等数学的大门，他们今后的数学学习就有望进入一个坦途，至少就不应该会遇到不可逾越的困难了。

05

根据我们在现有中、小学听课的实际体会，对老师在课堂上组织的讨论，小学生往往抢着发言，且声音洪亮，没有任何顾虑，气氛很活跃;初中生则多了一些矜持，没有那么活跃，声音也小得多;至于高中生，则显得格外拘谨，总是小心翼翼，声音低得有时甚至像蚊子叫。总的印象，在应试教育的大环境下，一切为了升学考试，不考的就不学、也不感兴趣，学生的聪明才智往往被压缩了，他们的好奇心和求知欲似乎没有随着年龄的增加和知识的增长而增长，反而显得退化了。这样的心理素质和学习习惯，在进入大学后，无疑会成为一个极大的负担和障碍。

根据培养优秀创新人才的要求，一定要鼓励和启发学生的好奇心和求知欲，要推动学生勇于提问、善于思考，使思维一直处于一种开放的活跃的状态。要使学生明白，不仅要善于学，更要善于问，要不断对老师、对书本、也对自己提出种.种问题，而且要问在点子上，问出水平来。以往强调要培养学生分析问题和解决问题的能力，固然十分重要，但单单会得解决别人提出的问题，单单会得熟练解题，单单会得证明别人已经得到得结论，还远远不够，还应该强调要培养学生发现问题和提出问题的能力，使他们逐步具备发明和创新的潜质。

从这个意义上说，一门教材和课程(包括入门阶段的教材和课程)，如果给学生造成一种尽善尽美、天衣无缝的印象，没有任何缺点，没有什么不足，使学生感到没有任何思考的余地，只需生吞活剥、死记硬背，恰恰是一个不好的表征，也完全不符合实际的状况，是一个明显的误导。每一门学科，都有它的独特优势，有它的拿手好戏，但同时也决不可能十全十美，都必然有它的弱点和软肋，都有它解决不了或解决不彻底的问题。如果在教材中既讲成功的一面，又讲不足的一面，既讲有用的理论和方法，又讲可能面临的、难以完满解决的问题，学生的学习积极性只会得到激发，学生对教材内容的理解只会更深，而创造和探索的愿望更会从他们的内心深处迸发出来，培养优秀的创新人才就更有保障和希望了。如果我们的教材不仅向学生传授知识，而且能激起学生求知的渴望和创造的激情，有助于造就未来出色的创新人才，这是多么值得欢欣鼓舞的事啊!对数学类新生进行入学教育，要从一开始就注意到这一点。

06

我们总希望学生通过学习数学，能够启迪心智，使自己变得更加聪明，更具有智慧，更有充分的发展潜力和广阔的发展前途。因此，在进入大学一开始，大家就要树立这样的观念：数学绝不是一大堆定义、公式、定理和证明的堆积，决不要通过死记硬背，费尽心机地把它绵输进自己的头脑，而是要在学习中着意注意数学最根本的三件事。那三件事呢?

一是数学知识的来龙去脉，是从哪儿来的，又可以到哪儿去?数学并不是无源之水、无本之木，它发展的最根本的源泉是现实世界的实际需要，是有很丰富的现实背景和需求的;而且，有意义的数学结果和，也一定会在现实世界的方方面面得到广泛的应用。不讲来龙去脉，就割断了数学与生动活泼的现实生活的血肉联系，大家怎么会对数学有深入的领悟，怎么会有学习数学的持续的积极性呢?

二是数学的精神实质和思想方法，而不仅仅是一些数学知识和证明技巧。只讲知识，不讲精神;只讲技巧，不讲思想，是实际数学教学中常见的通病。这样，大家只能给教师、教材牵着鼻子走，而不可能触类旁通、真正开窍，不可能学到数学的精髓，是不可能真正成才的。

三是数学的人文。数学是人类文明的一个重要组成部分和坚实支柱，整个的人类文明史是和数学的发展史交融在一起的。数学作为一门科学，在人类认识世界和改造世界的过程中起着关键的、不可替代的作用。不关注数学文化的功能和作用，不自觉地接受数学文化的熏陶，大家是不可能真正走近数学、了解数学、领悟数学、并热爱数学的。

抓住了这三点，就抓住了数学的灵魂和精髓，就可以起到画龙点睛的效果，相应的数学学习，就会充满思想和意蕴，变得生动活泼、趣味盎然，大家对数学的认识和理解就会大不一样，学习也就会更有成效了。

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